Pembuktian matematika
Apakah v2 adalah bilangan rasional?
Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu melakukan pembuktian karena lewat pembuktian suatu hipotesis menjadi sahih (valid). Dalam bidang matematika atau bidang-bidang lain yang memerlukan penalaran, aksioma biasa digunakan untuk merumuskan pernyataan-pernyataan yang disebut premis atau hipotesis, yang hasilnya berupa preposisi-preposisi yang disebut theorema. Dalam topik pembuktian juga dikenal istilah lemma (kita lebih mengenal dilemma) yaitu theorema tambahan yang hasilnya bukan menjadi sasaran pembuktian.

Asal-usul
Mengawali penjelasan perlu dipahami beberapa asal kata. Aksioma berasal dari kata axiom yang artinya berharga, kualitas. Kata hypo berarti “di bawah” dan thesis artinya “sesuatu yang diletakkan.” Theorema berarti “subyek untuk direnungkan” dan lemma berarti “sesuatu yang diambil.” Semua kata di atas berasal dari bahasa Yunani. Berbeda dengan semua di atas kata postulat berasal dari bahasa Latin postulatum yang artinya sesuatu yang dibutuhkan.
Semua harus diuji untuk memenuhi sesuai dengan istilah Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) yaitu ungkapan dicetuskan pertama kali dalam bahasa Latin oleh Euclid yang artinya: yang perlu untuk ditunjukkan atau diperagakan.

Ada 5 metode pembuktian ilmiah:

  • Metode deduksi. Dengan mendiskusikan hipotesis-hipotesis yang didasari oleh postulat-postulat akan mengarah tercapainya konklusi, dimana kesahihan (validity) bergentung kepada kesahihan premis-premis dan pemberian alasan yang masuk akal.
  • Metode induksi yang sudah dikenal sejak jaman dahulu, namun untuk pertama kalinya diilmiahkan oleh Augustus de Morgan pada tahun 1836. Pembuktian indultif adalah sahih apabila kebenaran secara universal terbukti. Dapat pula diterapkan secara khusus apabila memenuhi kondisi-kondisi yang ditentukan secra khusus pula.
  • Pembuktian dengan cara tidak langsung (reducia ad absurdum) dilakukan dengan menetapkan pernyataan yang benar dengan menunjukkan mana yang salah sebelum pernyataan itu dianggap benar.
  • Pembuktian dengan menggunakan komputer. Perkembangan membuat orang terspesialisasi dan metode matematika makin kompleks sehingga dibutuhkan pembuktian lewat komputer agar cepat dan akurat.
  • Theorema tidak lengkap. Banyak preposisi-preposisi dalam matematika yang sudah ditemukan namun belum dapat dibuktikan dan diperagakan apakah itu benar atau salah. Fenomena ini sebelum tahun 1930 hanya dianggap perkiraan (conjecture), namun Kurt Godel memberi cara untuk membuktikan benar atau salah dalam buku Incompleteness, sebalin Alfred Tarski menguji kesahihan lewat sistem formal.