“Kekuatan
terbesar dalam perhitungan modern terdapat pada tiga penemuan:
notasi [bilangan] Arab, bilangan berbasis sepuluh dan logaritma”
(The miracuolus powers of modern calculation are due to three
inventions:the Arabic Notation, Decimal Fractions, and Logarithms)
Florian
Cajori
Pedagang
merangkap matematikawan
Fibonacci
(1170 – 1250)
Riwayat
Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di
Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal
dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri
artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya
adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang
ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang
selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci
menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya
ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya
bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan
keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal
setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan
dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci
mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia
memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal
di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu
membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.
Mengarang
buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan
– apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan
numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul
dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi,
Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan
kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit
dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian)
dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi
dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar,
bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan
kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga
menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia
bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah
pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan,
perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi),
bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih
dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan
Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk
datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab
dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan
persamaan kuadrat.
Problem
kelinci
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan
oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama
kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku
tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam
buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat”
matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan
sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu
tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang
anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”
- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci
betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru,
sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci
kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak
baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga
ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses
itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan
rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.
Deret
Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan
transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci
adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti
kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat
adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus
pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul,
adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal
dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang
Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri.
Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari
kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya.
Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2)
+ 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan
2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil
penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret
di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga
lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral
bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui
diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan
binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus
*; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘
nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke
kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.
Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa
alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian”
nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya
di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan
hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci
di bawah ini.
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21;
55/34; 89/55; 144/89…
Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian
menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi
emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang
ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat
dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.
| Deret |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55
|
89 |
144
|
| Pembagi |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21
|
34 |
55 |
89 |
| Hasil |
1 |
2 |
1,5 |
1,66 |
1,6
|
1,625 |
1,615 |
1,619
|
1,617 |
1,618
|
1,618 |
Barangkali
kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci
mendekati nisbah emas.
Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret
Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan
b/a
≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈
a/b + 1 (seksi emas)
Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ
(phi) untuk persamaan di atas.
Φ = 1/Φ
+ 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ
– 1 = 0
Φ = (1+ √5)/2
≈ 1,618
Revolusi
Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik,
termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku
ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan,
sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci
menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh
(seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh
(desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12.
Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen
yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis
dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan
satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh,
dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis
dengan 1/25 1/5 ¼ ½.
Masih belum jelas, terlebih notasi:
1 6 2
2 9 10
yang berarti:
1 +
6 +
2
2.9.10 9.10
10
Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang
jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu
rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan
Byzantium.
* Jangan salah mengartikan dengan Nautilus
yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000
Leagues Under the Sea”
Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim
sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat
adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret
Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti
yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan
dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan
Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik
ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua
Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian
disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan
harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan
sistem pecahan.
