Terdapat dua macam sumbangsih matematika: karya yang penting bagi sejarah matematika dan karya yang menyederhanakan kemenangan jiwa manusia.
(There are two kinds of mathematical contributions: work that’s important to the history of mathematics and work that’s simply triumph of the human spirit.

Paul J. Cohen

Matematikawan yang selalu kuatir dengan kesehatannya

Kurt Godel
(1906  – 1978)

Masa kecil
Ayah Kurt Godel adalah Rudolf Godel yang warga negara berasal dari Wina dan ibunya bernama Marianne Hadschuh. Rudolf tidak mempunyai rencana tentang pendidikan bagi Kurt karena diharapkan akan meneruskan jabatan menjadi direktur utama bagi pabrik tekstril besar milik keluarga yang terletak di Brunn (sekarang Brno masuk wilayah Republik Czech). Ibu Kurt berasal dari Rhineland adalah anak Gustav Handschuh yang mempunyai hubungan usaha tekstil juga tinggal di Brunn. Tidak seperti Rudolf yang tidak mengenyam pendidikan, sedangkan Marianne sebaliknya pernah bersekolah di Perancis. Kurt mempunyai kakak kandung yang diberi nama sama dengan ayahnya, Rudolf. Kurt kecil hidup berkecukupan. Ketika berumur 6 tahun terserang rematik dan sembuh. Setelah umur 8 tahun mulai membaca buku-buku kedokteran untuk mengetahui penyakit dirinya sebelum diketahui bahwa jantungnya lemah dan ada kemungkinan mengalami komplikasi. Mengetahui ‘kelemahan’ dirinya, maka hari-harinya selalu dipenuhi dengan rasa kuatir tentang penyakit tersebut.

Tahun 1923, menyelesaikan sekolah menengah di Bruun dengan nilai bahasa dan matematika di atas nilai sastra dan sejarah dan memasuki universitas Wina dengan minat studi matematika atau fisika teori. Dengan dosen pengajar kompeten seperti: Furtwangler, Hahn, Wirtinger ternyata membuat Kurt sadar diri dan memutsukan bahwa matematika menjadi kuliah utama. Furtwangler,  matematikawan handal dan seorang guru teladan,  yang harus mengajar di atas kursi roda karena tubuhnya lumpuh, rupanya memberi pengaruh besar bagi Kurt untuk menekuni matematika.

Lulus Universitas Wina
Kurt yang selalu kuatir dengan kesehatannya, ternyata mulai menyukai matematika dan mengikuti seminar yang diselenggarakan oleh Schlick yang membahas buku Introduction to Mathematical Philosophy karya [Bertrand] Russell.  Hahn yang menekuni dan mengajar logika menjadi dosen Kurt serta merta mengetahui bakat besar Kurt menyediakan diri apabila Kurt membutuhkan bantuannya. Tidaklah mengherankan apabila pada tahun 1929, disertasi doktoral Kurt di bawah bimbingan Hahn yang diberi judul Proving the Completeness of the First Order Functional Calculus.

Lulus dan diangkat menjadi anggota fakultas Universitas Wina terhitung tahun 1930. Jabatan pengajar positifisme logikal (logical positivism) sampai ini tahun 1938. Bersamaan dengan lulusnya Kurt, ayahnya meninggal dan meninggalkan harta yang sangat besar nilainya. Keuangan keluarga terjamin, dan ibunya lebih memilih tinggal di sebuah flat besar bersama kedua anak lelakinya. Ibu bahagia ini kembali menekuni minat lamanya yaitu mempelajari budaya Wina dan ‘rajin’ menghadiri theatre bersama kedua anaknya. Rudolf, kakak Kurt, sukses menjadi seorang radiologis.

Theorema Godel
Godel dikenal lewat pembuktian “Theorema-theorema Ketidaklengkapan Godel” (Godel Incompleteness Theorems) yang dicetuskan pada tahun 1931. Godel melakukan pembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistem aksiomatik matematikal yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar proposisi-proposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Kiprah Godel ini merupakan lanjutan dari upaya para matematikawan abad sebelumnya yang itu membakukan aksioma dalam matematika yang mendasarkan diri pada aksiomatika. Upaya paling muktahir tentang aksiomatik telah dilakukan oleh Russell dalam buku Principia Mathematica (1910-1913) yang dikarang bersama Whitehead. Matematikawan lain yang berkecimpung dalam aksiomatik adalah Hilbert yang dirombak oleh Godel. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh [David] Hilbert. Prestasi Godel ini menjadi tonggak matematika pada awal abad 20, menunjukkan bahwa matematika bukan suatu obyek yang matang, seperti yang diyakini selama ini. Implikasi lain adalah komputer tidak dapat diprogram untuk menjawab semua problem-problem matematikal. Pakar logika lain yang menekuni bidang ini adalah Zermelo yang memperoleh hasil sama dengan Godel. Mereka berdua bertemu dalam suasana damai di Bad Elster pada tahun 1931. Godel menyampaian makalah “Ketidaklengkapan” di universitas Wina pada akhir tahun 1932, sebelum diangkat menjadi dosen universitas Wina pada tahun 1933.

Pindah ke Princeton
Tahun 1933, kekuatan Hitler di Jerman tumbuh. Awalnya perkembangan politik tidak mempengaruhi kehidupan Godel di Wina. Tahun 1934, Godel memberikan kuliah di Princeton tentang “On undecidable propositions of formal mathematical system.” Bahan kuliah ini kemudian diterbitkan secara bersambung di Princeton sebelum Godel kembali ke Eropa dengan kelelahan mental. Godel memberitahu Rudolf bahwa dirinya mengalami depresi dan tinggal di Paris. Beberapa bulan Godel dirawat di sanatorium guna penyembuhan diri.

Meski sakit, namun Godel terus melakukan riset sampai akhirnya ditemukan Axiom of Choice dengan aksioma-aksioma lain untuk teori himpunan (set theory) pada tahun 1935. Dalam suatu kesempatan menjadi pembicara dalam seminar pada tahun 1936, ide-ide logika Godel ‘dibantai’ oleh para mahasiswa yang menghadiri, dimana hal ini membuat dirinya kembali mengalami depresi. Sempat mengunjungi Gottingen pada tahun 1938, dan memberi penjelasan tentang riset terhadap teori himpunan yang sedang dilakukannya. Pulang ke Wina untuk menikah dengan Adele Porkets dikenalnya sejak tahun 1927 pada  punghujung tahun 1938. Maret 1938, Austria menjadi bagian Jerman namun Godel sudah tidak tahan dengan situasi ini. Saat melakukan kunjungan Princeton untuk kedua kalinya dan mengajar pada tahun 1938 –1939, Godel akhirnya migrasi ke Amerika bersama keluarganya pada tahun 1940. Perang yang mulai pecah dan takut dengan tentara Jerman karena dirinya keturunan Yahudi membuat dia melewati Rusia dan Jepang sebelum ke Amerika.

Karya-karya Godel
Tahun 1940, Godel kembali sampai di Amerika Serikat dan mendapat kewarganegaraan Amerika pada tahun 1948. Selama itu, Godel menjadi anggota tetap Institute for Advance Study sampai tahun 1953. Terhitung sejak tahun 1953 menjadi pejabat di Princeton sampai meninggalnya, tanpa ada kewajiban untuk mengajar. Pada saat itu pula di Princeton berkumpul ilmuwan-ilmuwan seperti Einstein dan von Neumann. Barangkali pengaruh Einstein pula, Godel juga tertarik dan memberi sumbangsih dalam teori relativitas.  Godel memperoleh penghargaan Einstein (Einstein Award) pada tahun 1951. Menjadi anggota Royal Society, London Mathematicak Society, Institute of France. Menolak kehormatan yang akan diberikan oleh Akademi Sains di Wina dan penghargaan yang ditawarkan oleh Pemerintah Austria karena perlakuan pemerintah terhadap keluarganya dianggapnya tidak adil.  Ibunya meninggalnya kota Wina pada tahun 1937, dan memilih tinggal di vilanya di Brno. Rudolf tetap tinggal di Wina sampai 1944 sambil berharap Jerman kalah dan pada tahun itu pula ibunya kembali dan tinggal bersama Rudolf di Wina. Setelah pe         rang berakhir vilanya di Brno diperebutkan antara Pemerintah Austria dan Czech, dan hanya keluarganya hanya menerima sepersepuluh. Rupanya hal ini yang membuat Godel berang dan tidak ingin kembali ke Austria lagi.

Di Amerika Godel mengeluarkan karya besarnya Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory pada tahun 1940. Lewat karya ini, Godel membuktikan bahwa sistem aksiomatik teori himpunan yang dicetuskan oleh Russell dan Whitehead dalam Principia Mathematica adalah konsisten, dan akan tetap konsisten meski ditambah dengan aksioma pilihan dan hipotesis-kontinuum yang digeneralisasi. Kelak bidang kajian ini dikembangkan lebih lanjut oleh Cohen pada tahun 1963.

Masa akhir
 Godel selalu merasa kuatir dengan kesehatannya sendiri dan terlalu keras kepala menerima pendapat orang lain. Disebutkan oleh Rudolf bahwa Godel belajar mengobati diri sendiri selain mempelajari matematika.  Hal ini membuat dokter sulit menangani pendarahan pada usus duabelasjari Godel. Selalu menjaga makanan (diet) dengan ketat sehingga berat badannya dengan cepat merosot. Adeli, istrinya, selalu memberi dukungan, namun akhirnya mengalami dua kali stroke dan harus dioperasi. Menjelang kematiannya, Godel masih mempunyai pikiran bahwa dirinya diracuni. Pada masa tua ini Godel tidak pernah bepergian atau mengajar lagi, namun hanya menyukai diskusi tentang filsafat saja. Setelah lama dirawat di rumah sakit Princeton akhirnya Godel meninggal pada tanggal 14 Januari 1978 dengan meninggalkan warisan berupa ide-ide cemerlang yang membantu para matematikawan yang hidup di kemudian hari.

Sumbangsih
 Sistem aksioma dengan menggunakan proposisi-proposisi ini mendasari perkembangan ilmu logika dan pada akhirnya menjadi struktur pemrograman komputer. Godel mempercepat revolusi program komputer dengan melengkapi apa yang sudah dirintis oleh [George] Boole dan memperbaharui aksiomatik dari Russell dan Whitehead.