Kita semua seringkali berpikir bahwa jika kita tahu satu, kita tahu dua, karena satu tambah satu adalah dua. Kita menemukan bahwa kita harus lebih banyak belajar tentang “tambah.”
(We used to think that if we knew one, we knew two, because onr and one are two. We are finding that we must learn a great deal more about “and.”)

Sir Arthur Stanley Eddington

Tragedi menaungi nasib seorang matematikawan

William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)

Masa kecil
William (untuk selanjutnya disebut dengan Hamilton) adalah anak bungsu. Mempunyai seorang satu kakak perempuan dan tiga orang kakak laki. Ayah Hamilton, Archibald Hamilton, termasuk orang berpengaruh di Dublin, Irlandia. Ayah Hamilton adalah seorang usahawan berkaliber, pandai bicara, banyak relasi dan pergaulan luas. Kejeniusan Hamilton barangkali adalah warisan dari pihak ibu, Sarah Hutton, yang berasal dari keluarga intelektual. Ayahnya hanya pandai bicara dan selalu menghadiri pesta, sehingga tidak punya waktu mengajar Hamilton. Beruntunglah Hamilton mempunyai seorang paman, Reverend James Hamilton, yang tinggal di Trim (sekitar 20 mil dari Dublin). Paman James menguasai banyak bahasa – Yunani, Latin, Ibrani, Sansekerta, Pali, termasuk bahasa negara-negara maju di Eropa, selain bahasa Irlandia sebagai bahasa ibu. Umur tiga tahun, sudah tampak tanda-tanda, bahwa Hamilton adalah anak genius. Mengetahui bahwa ayahnya hanya “tukang omong”, maka ibunya mengirim Hamilton untuk dibimbing oleh paman James. Sarah Hutton meninggal, ketika Hamilton berusia 12 tahun dan dua tahun kemudian disusul oleh meninggalnya sang ayah. Di bawah bimbingan paman James, Hamilton, pada usia 13 tahun hampir menguasai semua bahasa yang dikuasai oleh pamannya. Menjadi anak paling fasih berbahasa di Irlandia, meskipun punya satu kelainan “tidak punya rasa humor.” Umur tiga tahun, fasih bahasa Inggris dan sedikit aritmatika; umur empat tahun menjadi ahli ilmu bumi; umur lima tahun fasih membaca dan mengalihbahasakan bahasa Latin, Yunani, dan Ibrani dan menyukai menyitir sajak-sajak karya Dryden, Collins, Milton dan Homer – orang Yunani terakhir. Umur delapan tahun menguasai bahasa Italia dan mendapat bea siswa untuk mempelajari bahasa Timur yang dimulai dari bahasa Arab, Sansekerta, Hindu, Bengali, bahkan bahasa Cina.

Minat berubah ke matematika
Kegemaran untuk mempelajari bahasa-bahasa yang dianggap kurang relevan surut pada periode umur sebelas sampai empat belas tahun. Perubahan minat ini terjadi ketika Hamilton bertemu dengan anak ahli berhitung (mental aritmatika) dari Amerika, Zerah Colburn (1804 – 1839). Colburn memberi pesona sendiri dalam kompetisi kemampuan aritmatika. Mampu mengalahkannya dan mengubah minat Hamilton untuk kemudian menekuni matematika. Pertandingan diadakan di Westminster di London. Hamilton diikut-sertakan dengan harapan anak Irlandia genius ini dapat menyerap semua rahasia metode Amerika yang mungkin dibawa oleh Colburn. Hamilton sempat bertanya apa metode yang dipakai oleh Colburn. Serta-merta dijawab bahwa tidak ada metode rahasia atau disembunyikan yang ada hanyalah kemampuan daya ingat. Ucapan ini memberi dampak cukup besar bagi Hamilton.
Langkah awal belajar matematika adalah membaca buku Algebra karya Clairaut ketika berusia 13 tahun. Ternyata dengan cepat dikuasai, sama seperti dia belajar bahasa Perancis. Umur 15 tahun mulai mempelajari tema yang lebih berat, yaitu buku-buku karya Newton dan Laplace. Tahun 1822, Hamilton menemukan kesalahan pada karya Laplace, Mechanique celeste, sehingga mendapat pujian dari John Brinkley, astronomer kerajaan Irlandia.
Umur 18 tahun, Hamilton masuk Trinity College di Dublin dan pada tahun pertama kuliah mendapat “penghargaan” dalam bidang klasik, penghargaan yang diberikan hanya sekali dalam kurun 20 tahun. Tinggal di Trim, Hamilton menghabiskan banyak waktu bersama saudara sepupunya, Arthur, anak paman James, sehingga tidak banyak menghadiri kuliah.

Cinta Pertama
Tahun 1824, Paman James mengajak Hamilton ke Summerhill untuk bertemu dengan keluarga Disney. Pada kesempatan ini, Hamilton bertemu dengan Catherine, anak keluarga Disney, dan jatuh cinta pada pandangan pertama. Tiga tahun tinggal kelas di Trinity College membuat Hamilton, tidak dalam posisi menguntungkan untuk menikah. Walaupun Hamilton membuat kemajuan pesat sebagai mahasiswa dan menyampaikan makalah pertamanya kepada Royal Irish Academy pada penghujung tahun 1824, dengan judul On Caustics. Awal tahun 1825, ibu Catherine memberitahu Hamilton bahwa anaknya sudah menikah dengan orang yang umurnya lima belas tahun lebih tua. Lelaki bahagia itu sangat kaya dan memberikan lebih banyak tawaran dibandingkan Hamilton. Merasa patah hati, Hamilton jatuh sakit bahkan timbul niat bunuh diri. Hubungan antara Hamilton dan Catherine terus terjalin, meski Hamilton sudah mempunyai istri dan baru terputus setelah Catherine meninggal.

Ternyata patah hati dilampiaskan Hamilton dengan melakukan penelitian. Tidak sampai satu tahun, pada tahun 1826, Hamilton mengirimkan makalah tentang Teori Sistem Cahaya (Theory of Systems of Rays) kepada Royal Irish Academy. Dalam makalah ini Hamilton mengemukakan karakteristik cahaya untuk Optik. Pengujinya adalah Boyton, yang kemudian membujuk Hamilton agar melamar menjadi astronomer pada Royal Astronomer di Observatorium Dunsink, dimana Hamilton harus bersaing dengan enam kandidat, dan salah satunya adalah George Biddell Airy (1801 - 1892). Airy yang gagal bersaing dengan Hamilton di Irlandia, akhirnya, sukses menjadi astronomer pada Royal of England. Setahun kemudian, tahun 1827, Hamilton diangkat menjadi profesor astronomi di Trinity College, pada umur 22 tahun. Ada kontroversi di sini, karena Hamilton belum punya pengalaman. Yang digantikan adalah profesor Brinkley, orang yang tidak mampu melihat bahwa minat utama Hamilton adalah matematika.

Sebagai sastrawan
Sebelum memulai pekerjaan, Hamilton mengelilingi Inggris dan Skotlandia (asal nenek-moyang Hamilton). Dalam suatu kesempatan bertemu dengan penyair Wordsworth dan menjalin persahabatan dengannya. Eliza, salah seorang saudara Hamilton, juga seorang penulis puisi. Ketika Wordsworth berkunjung ke Dunsink, dia kagum dengan karya Eliza bukan karya Hamilton. Kedua lelaki ini kemudian berdekat tentang sains versus puisi. Hamilton senang melakukan pembandingkan karena menganggap bahwa bahasa matematikal sama artistiknya dengan puisi.
Hamilton mengangkat murid bernama Adere. Keduanya sama-sama mempunyai “cacat.” Mata Adere mudah sakit apabila terlalu lama melakukan observasi. Hamilton mudah sakit karena sering lembur. Ketika liburan, mereka bersama-sama berkunjung ke Armagh dan menyambangi astronomer Romney Robinson. Saat itu Hamilton bertemu dengan Lady Campbell, yang menjadi salah satu pengagum Hamilton. Tidak jauh dari tempat observatorium tersebut, tinggallah Catherine bersama suaminya. Mengetahui Hamilton datang, Catherine pergi mengunjungi observatorium. Kaget bercampur gembira membuat Hamilton spontan mengarang puisi. Pertemuan ini menggugah Hamilton untuk segera menikah. Calon yang dincar adalah teman dekatnya Wordswoth, Ellen de Vere. Meskipun sudah mengirim banyak puisi dan kiat-kiat agar mau menikah dengannya, ternyata Ellen menikah dengan orang lain. Hamilton, akhirnya, berteman dengan saudara Ellen, Aubrey. Lewat perantaraan Aubrey, Hamilton sukses meminang gadis desa yang tinggal di seberang sawah di depan observatorium bernama Helen Maria Bayly.

Menjadi pemabuk
Hamilton menikah dengan Helen Maria Bayly, namun sudah salah sejak awal. Helen bukanlah seorang wanita intelektual dan Hamilton lebih banyak berkutat dengan pekerjaan mengembangkan Teori Sistem Cahaya tahap II untuk aplikasi dalam optik, karya pertamanya. Helen ternyata bukan nyonya rumah yang baik pula, sering sakit – bahkan pernah hampir meninggal, serta lebih banyak tinggal di rumah orang tuanya, seorang janda. Diperhatikan dan dirawat setiap hari oleh Hamilton, membuat Helen merasa sangat dimanjakan oleh Hamilton, yang belum lama patah hati ini. Sakit itu ternyata membuat Helen semi-invalid seumur hidup. Terkejut bahwa Helen bukan wanita yang handal sebagai seorang istri maupun kesehatannya yang selalu buruk, tidak pelak lagi Hamilton terpaksa mengerjakan semua pekerjaan rumah tangga. Menelatarkan minat-minat – terutama belajar matematika – membuat Hamilton perlu seorang wanita yang menaruh simpati yang mampu menunjang atau mendukungnya. Dari perkawinan ini lahirlah seorang anak laki, tahun 1834, yang diberi nama William Edwin Hamilton. Helen, tidak lama kemudian, meninggalkan Dunsink selama sembilan bulan, pergi dari Hamilton yang memerangi kesepian dengan bekerja lebih lama. Setahun kemudian, lahirlah anak kedua, Archibald Henry, namun hari-hari dilalui dengan tanpa kebahagiaan. Menjelang akhir tahun, ketika Hamilton menghadiri pertemuan dengan British Association, dan Helen membawa anak ke rumah mertua selama sepuluh bulan, ada kabar bahwa Arthur, saudara sepupunya, meninggal, dan tidak lama kemudian Helen pergi ke Inggris dengan meninggalkan anak ketiganya yang baru lahir, Helen Eliza Amelia. Pada saat depresi ini, alkohol menjadi teman sejati. Ditambah banyak bekerja, antara 12 – 14 jam per hari, membuat kurang makan atau tidak makan. Kompensasi energi tubuh dipenuhi dengan mengkonsumsi minuman beralkohol. Kegemaran ini lama-kelamaan membuat Hamilton kecanduan alkohol. Matematikawan membutuhkan konsentrasi tinggi. Alkohol dalam banyak hal dapat membantu, namun dalam jumlah berlebihan seperti yang diamali oleh Hamilton justru merusak semua. Penyembuhan dari kecanduan ini memakan waktu dua tahun.

Quaternions
Problem dalam menggambar kurva tangen mencetuskan ide tentang fluxion atau diferensial; cara mengkoreksi atau melakukan pembetulan lewat pembalikan, invers, melahirkan integral. Menjelang akhir tahun 1843, Hamilton bersama Helen berjalan sepanjang Royal Canal disela-sela pertemuan dengan Royal Irish Academy. Meskipun istrinya terus mengajak bicara, semua itu tidak terdengar. Pikiran Hamilton terus dicurahkan pada menjawab pertanyaan, “Dalam ruang empat- dimensi dapat digunakan untuk menghitung pangkat tiga.” Sampai jalan setapak berbatu di jembatan Brougham, Hamilton merasa penemuannya dapat merombak fisika matematika sebelum mencurahkan segenap pikirannya untuk menekuni topik ini. Garis besar pemikiran dijabarkan dalam lima postulat:

I. Apabila a dan b adalah dua elemen F, a + b dan ab adalah elemen-elemen yang ditentukan secara khusus dari F, dan

b + a = a + b, ba = ab

II. Apabila a, b, c adalah tiga elemen dari F, maka:

(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

III. Apabila terdapat pada F, dua elemen yang berbeda, diberi notasi 0 dan 1, dimana a juga elemen lain dari F, maka:

a + 0 = a
a1 = a (dimana 0 + a = a, 1a = a, lihat nomor I)

IV. Apabila elemen a bagian dari F, terdapat pada F elemen x sehingga: a + x = 0 (dimana x + a = 0, lihat nomor I)

V. Apabila elemen a (beda dengan 0) dari F, terdapat pula pada F, elemen y sehingga: ay = 1 (dimana ya = 1, lihat nomor I)

Dari lima postulat sederhana, akan tetapi sangat membantu dalam memahami aljabar. Pada postulat II, pernyataan (a + b) + c = a + (b + c) disebut dengan hukum asosiatif perjumlahan. Disebutkan bahwa jika a dan b dijumlah, dan hasilnya ditambah dengan c, maka total keseluruhan sama seperti jika a dijumlah dengan hasil penjumlahan b dan c. Pernyataan ketiga pada postulat II disebut dengan hukum distributif. Pada postulat III, “nol” dan “kesatuan” adalah postulat; pada postulat IV, x memberi hasil negatif dari a; dan pernyataan V (dalam tanda kurung) melarang pembagian dengan angka 0.
Ada keinginan agar postulat I disebut dengan hukum komutatif dari perjumlahan dan perkalian (commutative laws of addition and multiplication).

Sekelumit tentang vektor
Sudah lama disadari bahwa ada tabir misteri tentang suatu konsep, namun bukanlah konsep matematikal. Sukses menangani bilangan-bilangan kompleks dalam bentuk berpasangan, Hamilton berusaha mengembangkan alat untuk menyelesaikan untuk bentuk triple dan bentuk keempat (quaduple). Untuk mencapai itu, Hamilton berusaha menemukan aljabar yang berlaku pada putaran (rotasi) ruang (tiga-dimensi) pada (bidang) dua-dimensi bilangan-bilangan kompleks yang menjadi pokok geometri dasar atau geometri Euclid.

Bilangan kompleks a + bi dapat disebut menghadirkan apa yang kemudian disebut dengan vektor, yaitu garis yang mempunyai panjang dan arah, seperti yang dapat dilihat pada diagram di bawah ini.

Gambar: vektor

Berupaya mencari simbol untuk menggambarkan perilaku vektor pada ruang tiga-dimensi, sehingga karekteristik ini dapat diaplikasikan pada fisika, terutama pada kombinasi dari perputaran-perputaran (rotasi), Hamilton berkutat dengan problem ini bertahun-tahun tanpa pernah menemukan solusi atau ada hal-hal lain yang dianggapnya tidak wajar. Hamilton meyakini falsafah [Immanuel] Kant bahwa “Waktu dan ruang adalah terpisah”, tanpa pernah mendengar temuan Lobatchevsky (baca: Lobatchevsky). Kesulitan Hamilton dalam membangun aljabar vektor dan putaran (rotasi) ruang tiga-dimensi berada dalam pikiran bahwa sadar adalah hukum terpenting dari aljabar yang tetap termaktub dalam aljabar. Bagaimana vektor dalam ruang tiga-dimensi dapat dikalikan? Pernyataan yang menggoda pikiran matematikwan berikutnya.

“Cinta” bersemi kembali
Tidak lama setelah penemuan quaternions, kehidupan pribadinya kembali terusik. Tahun 1845, Thomas Disney menemui Hamilton di observatorium dengan mengajak Catherine. Kembali memicu perasaan cinta. Kesedihan ditambah karena meninggalnya paman James pada tahun 1847, tanpa sempat bertatap muka. Rekan kerjanya di Trinity College, James MacCullach, bunuh diri. Pada tahun ini pula Catherine mengirim surat kepada Hamilton, yang menyatakan ikut berperan membuat Hamilton depresi. Korespondensi berlangsung selama 6 minggu dan menjadi informal dan sangat pribadi sampai Catherine – karena merasa bersalah - menyatakan semua curahan hati itu kepada suaminya. Hamilton, akhirnya, menyatakan kepada suami Catherine bahwa dirinya tidak akan pernah berhubungan lagi. Mengetahui hal ini Catherine sempat mencoba bunuh diri, sebelum memutuskan untuk tinggal bersama ibu atau saudara-saudaranya, tanpa menyatakan cerai. Hamilton terus mengirim surat lewat perantara. Berpaling kepada alkohol, membuatnya menyesal sehingga kompensasi atas semua itu bekerja dengan makin keras. Hasilnya adalah artikel Lectures on Quaternions yang diterbitkan pada tahun 1853, tapi gagal karena rupanya buku panduan belajar quaternions masih terlalu sulit bagi para pembacanya.

Hamilton membantu menyiapkan anak Catherine, James, mengikuti ujian tentang quaternions. Ada rasa bangga bercampur perasaan puas mampu membalas dendam pada bidang yang bukan merupakan kompetensi suami Catherine. Tahun berikutnya, menerima surat dari Catherine bahwa dirinya ingin sekali bertemu dengan orang yang tidak akan pernah dilupakannya, sebelum meninggal. Sambil membawa buku Lectures on Quaternions, Hamilton bergegas datang menemui. Catherine meninggal 2 minggu kemudian.

Masa Tua
Dua puluh tahun terakhir kehidupannya, Hamilton dicurahkan sepenuhkan unruk quaternions, termasuk aplikasinya pada astronomi, teori gelombang cahaya dan Element of Quaternions, yang sudah ditulis selama dua tahun, namun baru diterbitkan setelah Hamilton meninggal. Ketika Hamilton meninggal, naskah belum selesai sempurna, tapi tetap diterbitkan dengan kata pengatar ditulis oleh seorang anaknya, William Edwin Hamilton.
Hamilton meninggal karena gout pada September 1865 - setelah terkena beberapa kali serangan, dan mewariskan 60 manuskrip buku matematika yang banyak berceceran di meja kerja maupun pada bagian-bagian lain di dalam rumahnya. Beberapa saat sebelumnya, Hamilton terpilih menjadi anggota asing pertama untuk National Academy of Sciences di Amerika Serikat, yang ditemukan dalam era perang saudara.

Sumbangsih
Penjelajahan Hamilton terhadap apa yang disebut dengan quaternions sangat revolusioner pada masanya. Gagasan awal adalah menyaingi ide fluxions dari Newton. Solusi aljabar dengan menggunakan quaterion ternyata dapat diaplikasikan ke dalam bidang –bidang lain seperti: fisika matematika.
Analisis vektor atau sering disebut dengan aljabar vektor merupakan pusat perhatian Hamilton berikutnya, meskipun gagasan ini kelak akan disempurnakan oleh para matematikawan masa berikutnya. Postulat-postulat (hukum asosiatif, distributif, komutatif) dan bahasannya tentang vektor banyak dipelajari siswa sekolah menengah masa kini.